角 運動量 演算 子 交換 関係 - 角運動量の行列表現

例えば の時の行列 の固有値と固有ベクトルを求めてみよう. 他にも簡単に導けてよく用いる公式を下にまとめておきます。

縮約された（和をとられた）添字はダミー変数と呼ばれ、名前を書き換えても式自体の値を変化させないことに注意して、 より、最初と最後の式に注目して となります。

行列への変換 微分演算子と行列が論理的には等価だという話は第 2 部で出てきた. そのために上の式の両辺のノルム（つまりベクトルの長さ）を計算する. 恐るるに足らず。

位置、運動量の交換関係を使っていきなりの成分間の交換関係を導いてもまぁいいんですが、結構計算がゴチャゴチャするので、まず交換関係を計算するときに使うと便利な公式をいくつか導いてから、それらを使っての交換関係を計算することにしましょう。

一方， 1 ， 2 の差を考えれば， ［ J ＋， J － ］ ＝ J ＋ J － － J － J ＋ ＝－2 i J x J y－ J y J x ＝－2 i ・ i h J z ＝2 h J z ［ J ＋， J － ］ ＝ 2 h J z が成り立つ が成り立つこともわかります。

とにかく は , の固有値が一つ高いような状態へと変化させる演算子だというので ,「 上昇演算子」と呼ばれている. 量子力学がどのような原理・数学的基礎を土台に持つのか垣間見ることができます。

他の成分も同じ関係式を満たすだろう。

そのかたまりに を作用させる事で という固有値が飛び出してきていると解釈できる. 下の、図で表した式の赤字の項が０になるのはいいでしょうか。

Graduate Texts in Mathematics 157 SECOND EDITION ed. 実数 の2つの関数 に対して が成り立つという公式です。

2 のとき， と は可換であるという。

この後で具体的な行列を作る必要があるので ,面倒だが定数 が幾つになるかを調べておかないといけない. の2乗と成分の交換関係の2乗と成分の交換関係は、昇汞、下降を定義してあれこれやる方が奥深いんですが、交換関係を導くだけが目的なら結構遠回りなので、これはまたの機会に。

2017年8月13日閲覧。

演算子は入れ替えていいことが自明のものではないということも確かですが。

でも、分かっていればただの算数。

今回はわざわざ を付けて計算する意味はなかったが , があることを意識して計算していることを示すために敢えて略さなかった. 波動関数というのは無限次元の複素ベクトルであるという話だった. 長さは必ず0以上だから、その条件から何か言えるかもしれないのだ。

基本となる位置と運動量の交換関係は以下のようになっています： これら以外の、位置同士や運動量同士の交換関係、 と の交換関係などは0です（可換）。

運動量演算子どうしは交換可能です。

準備まず道具立てをしておきましょう。

まず , という具合に 2 つの新しい演算子を定義してやる. Revised: 2007-07-02. 則則とは、関数の積をする公式（のようなもの）です。

についても同じような手順を踏む事で という関係式を得る事が出来る. すなわち，角運動量の２乗と角運動量の x， y， z 成分の中のどれか１つは同時に決定できる。

エルミート演算子の異なる固有値に属する固有関数は互いに直交しているという数学的な要請があり ,ベクトル表現でも同じ事が言えるはずだ. そのためスピンの存在は「量子力学的な内部自由度」というよくわからない言葉によってしばしば誤魔化されてしまう。