2つの三角形において、底辺と高さの内、いずれか一方が等しい場合に、もう一方の長さの比がそのまま三角形の面積比となります。
この図形を捉える際に次の事を意識して下さい。
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チェバの定理、メネラウスの定理は、それ単体で出題されることもあれば、正三角形や二等辺三角形の性質などと組み合わせた問題が出題されることもあり、覚えている人と覚えていない人で差がつきやすい分野と言えるでしょう。
こんな定理です。
今回も,1回で完結できなかったので,! あとはメネラウスの定理を適用すれば解決です。
次に、応用編として三角形の面積比の性質と組み合わせた問題を解いていきましょう。
なんと、 式はチェバの定理とまったく同じですね。
実際に問題を解いてみましょう。
なので、スタートの点はCからです。
まずはチェバの定理を、その次にメネラウスの定理の証明を見ていきましょう。
図を描いて、問題のイメージを掴むことがスタート地点だということを忘れず、他の受験生と差をつけていきましょう。
) 例えば上の図でAR:RB、BC:CPがわかっていて、CQ:QAを求めないといけないときは、 こんな風に辺に印をつけることができます。
そして、通過した箇所の長さを順番に、下の式に入れます。
それに応じて、直線が決まります。
・・・おかげで、今まで記憶をゆっくり辿らなければ 思いだせなかった公式が「きつねの顔」で、 すんなりと書き表せるようになりました。
というか、何とでもできるようになっていなければ、入試に出題される図形の問題でとても苦労する事になるでしょう。
さて、証明の概略は以下でのようです。
底辺が共通する2つの三角形の高さの比を、三角形の面積比と対応させて分数で表します。
そう考えているので、私が担当した生徒さんたちには何処かのタイミングで、この定理を教えてあげることにしています。
下の図をご覧ください。
三角形の頂点の2つから、図のように対辺に向かって直線が引いてあります。
チェバの定理の証明は,面積を比較するっていうのが定番なんだよねぇ。
どちらの定理の証明も計算を進めていくと、右辺がすべて打ち消しあって1になります。
TへT 現在、工夫しております。
順定理,逆定理いずれも拡張前のメネラウスの定理と同様に証明できます。
メネラウスの定理の覚え方 メネラウスの定理は下のように左回りに「分子・分母」と分数をつくり、その積が1になる式をつくる、と覚えることができます。
慣れてきましたか? どうしても覚えられない人は、こんな方法も・・・・(笑 キツネの顔を探して、片方の耳から初めて、また始めたところに戻ってくるってことですね。